S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "S ˆz. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α. 2αβ"

Transcript

1 Άσκηση 4. Έστω σωμάτιο με spin /. Να προσδιορίσετε την κατάστασή του αν είναι γνωστές οι S ˆ, S ˆ και μόνο το πρόσημο της S ˆ. Απ. : Αυτό που πρέπει να βρούμε είναι οι συντελεστές στο ανάπτυγμα α ψ = α + + β β, α + β = () Επειδή μια συνολική φάση στην έκφραση () δεν έχει καμμία μετρήσιμη επίδραση μπορούμε να θεωρήσουμε ότι α. iϕ (Γενικά α = α e α και β = β e β και επομένως iϕ ( ) iϕ iϕ i i( ) ( ) α β ϕ ϕβ ϕ α α i ϕβϕα e e e e e ψ = α + + β = α + + β α + + β ) Επομένως α = β () Οι άλλες πληροφορίες που έχουμε είναι ότι ˆ ˆ α S = ψ S ψ = ( α β ) σ = ( α β + αβ ) = β c (3) και α β ( ) ˆ ˆ = ψ S ψ = α β σ3 = ( α β ) = S c (4) Από τις εξ. () και (4) θα πάρουμε : c + c β = c β = και α = (5) Από τη σχέση (3) θα έχουμε ότι iθ iθ αβ ( + β) = c αβ( e + e ) = αβcosθ= c και επομένως c c cosθ = = αβ c i e θ β = β (6) 9

2 Επειδή cosθ = cos( π θ) η εξίσωση (6) δεν αρκεί για τον πλήρη προσδιορισμό της φάσης του μιγαδικού αριθμού β. Η πληροφορία που χρειαζόμαστε επιπλέον είνα ˆ ˆ α S ( ) ( ) = ψ S ψ = α β σ = α β αβ = α( β β ) = α β sinθ β i i Η τελευταία σχέση προσδιορίζει αν η γωνία θ βρίσκεται στο διάστημα (, π ) ή στο διάστημα ( π, π ) και επομένως συνδυαζόμενη με την (7) θα μας δώσει το ζητούμενο αποτέλεσμα. Προσέξτε οτι οι πληροφορίες που χρειάζεστε για να προσδιορίσετε την επαλληλία (): Δεν αρκεί να μετρήσετε το φυσικό μέγεθος τις ιδιοακαταστάσεις του οποίου χρησιμοποιήσατε ως βάση (έτσι θα βρείτε μόνο τα μέτρα των συντελεστών όπως είναι προφανέ ςαπό την (5)) αλλά πρέπει να μετρήσετε και μεγέθη τα οποία αντιπροσωπεύονται από τελεστές οι οποίοι δεν μετατίθενται με τον τελεστή τις ιδιοκαταστάσεις του οποίου χρησιμοποιήσατε. (7) Άσκηση 5. (*) Ένα σωμάτιο με spin / και φορτίο e ( < ) βρίσκεται υπό την επίδραση ομογενούς μαγνητικού πεδίου στη διεύθυνση n. Τη χρονική στιγμή t = το σωμάτιο βρίσκεται στην κατάσταση ψ α β ± ιδιοακαταστάσεις του S ˆ. = + +. ( ) (α) Μετά από χρόνο t > μετράτε την προβολή του spin στον άξονα πιθανότητα να βρείτε + / και ποιά /;. Ποιά είναι η (β) Ας πούμε ότι στην προηγούμενη μέτρηση βρήκατε + /. Ποιά είναι η πιθανότητα αν μετά από χρόνο t > t ξαναμετρήσετε την προβολή του spin στον άξονα να βρείτε και πάλι + /; Υπ.: Ξεκινείστε από Hamiltonian που περιγράφει την αλληλεπίδραση του spin του ˆ ˆ σωματιδίου με το μαγνητικό πεδίο: ˆ e e B ˆ H = B S = n S ωn S mc mc όπου B = B B eb, n = και ω =. B mc Τη χρονική στιγμή t = η κατάσταση του σωματίου είναι η α ψ = α + + β α β + = β και η χρονική της εξέλιξη θα γίνει μέσω του τελεστή 3

3 ˆ i ( ) ep ˆ i ep ˆ i Ut = th = tω Sn ep tωσ n Δείξτε στη συνέχεια ότι ωt ωt ωt cos in sin ( in + n)sin ˆ Ut () ωt ωt ωt ( in n)sin cos + in sin Επομένως η κατάσταση του ηλεκτρονίου μετά από χρόνο t θα είναι ωt ωt ωt cos in sin ( in + n)sin αt α = βt ωt ωt ωt ( in n)sin cos in sin β + Αν τώρα θυμηθείτε τις ιδιοκαταστάσεις του S ˆ θα απαντήσετε αμέσως στο πρώτο από τα ερωτήματα. Η απάντηση στο δεύτερο θα δωθεί αν λάβετε υπόψη σας ότι μετά την μέτρηση ενός μεγέθους το σύστημά σας βρίσκετε σε ιδιοκατάσταση του μεγέθους αυτού. Άσκηση 6. (*) Θεωρείστε ένα ηλεκτρόνιο μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο B = B. Το αποτέλεσμα μέτρησης τη χρονική στιγμή t = έδειξε ότι το σωμάτιο βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του τελεστή S ˆ με ιδιοτιμή /. Να βρείτε : (α) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. (β) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. (γ) Την πιθανότητα να βρεθεί μετά από χρόνο t σε ιδιοκατάσταση του S με ιδιοτιμή ± /. Υπ. Την απάντηση τη βρήκατε ήδη στη προηγούμενη άσκηση. ˆ ˆ ˆ Άσκηση 7. (*) Σωμάτιο έχει τροχιακή στροφορμή l = και spin /. ˆ ˆ ˆ (α) Έστω J = L + S. Μετράτε τα Ĵ και J. Ποιά είναι τα δυνατά αποτελέσματα; (β) Βρείτε τις κοινές ιδιοκαταστάσεις των ( ˆ ), ˆ, ˆ, ˆ ˆ J J L S. 3

4 Απ.: ˆ J j, m = j( j+ ) j, m J j, m = m j, m ˆ j = 3/ m= 3/,/, /, 3/ j = / m= /, / 3 3 3, =,,, =, +,, , =, +,,, =, 3 3, =,,,, =,, Άσκηση 8. (*) Σωμάτιο έχει τροχιακή στροφορμή l = και spin /. ˆ ˆ ˆ (α) Μετράτε την προβολή της συνολικής στροφορμής J = L + S και του spin στον άξονα και βρίσκετε j = / και m = /. Ποιές είναι οι δυνατές τιμές του μέτρου της συνολικής στροφορμής και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες; ˆ ˆ ˆ (β) Μετράτε την προβολή της συνολικής στροφορμής J = L + S και του spin στον άξονα και βρίσκετε j = /και m =/. Ποιές είναι οι δυνατές τιμές του μέτρου της συνολικής στροφορμής και ποιές οι αντίστοιχες πιθανότητες; Υπ. : (α) Παρατηρείστε από την προηγούμενη άσκηση ότι η δυνατότητα j = / και παρουσιάζεται σε δύο περιπτώσεις : 3 j =, j = = l =, m= + l =, m= και 3 3 m =/ 3

5 j =, j = = l =, m= l =, m= 3 3 Λύνοντας θα βρούμε 3 l =, m= = j =, j = j =, j = 3 3 και επομένως 3 P( j = ) =, P( j = ) = 3 3 (β) Για να απαντήσετε στο δεύτερο ερώτημα αρκεί να συνειδητοποιείσετε την ισοδυναμία των αξόνων και. Αν το κάνετε αυτό θα βρείτε όπως και πριν 3 l =, m= = j =, j = j =, j = l =, m = = j =, j = + j =, j = 3 3 άρα 3 P( j = ) =, P( j = ) = 3 3 Άσκηση 9. (*) Ένα σύστημα ηλεκτρονίων βρίσκεται μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο προσανατολισμένο στον άξονα. Θεωρείστε ότι η δυναμική του συστήματος καθορίζεται από την Hamiltonian : ˆ e ˆ e H = B S = B( Sˆ ˆ + S ) mc mc (α) Τη χρονική στιγμή t = το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση ψ + i = s =, m= + s=, m= 33

6 Εξηγείστε γιατί είναι η πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin των σωματιδίων στον άξονα, να βρείτε για το ένα τιμή / και για το άλλο /. (β) Βρείτε την κατάσταση του συστήματος μετά από χρόνο t και προσδιορίστε την πιθανότητα σε μια μέτρηση της προβολής του spin των σωματιδίων στον άξονα, να βρείτε και για τα δύο τιμή /. Υπ.: Γράψτε Έτσι, =,, και, =, +, ψ = a, b, με + i + i a=, b + = και αρα, ψ = a και, ψ = b, a + b = + + = Στη συνέχεια γράψτε τον τελεστή χρονικής εξέλιξης Uˆ = UU ˆ ˆ = e e e e ω ω σ i ˆ i ˆ t t tωs tωs i σ i και προχωρείστε παρατηρώντας ότι ( )( ) UU ˆ ˆ m, m = Uˆ m Uˆ m Άσκηση 3. Η δυναμική ενός συστήματος δύο σωματιδίων με spin/ περιγράφεται από την Hamiltonian ˆ α ˆ ˆ 4β ˆ ˆ Η= ( S + S) + S S. Βρείτε τις ιδιοκαταστάσεις και τις ιδιοτιμές της Hamiltonian μέσω των ιδιοκαταστάσεων s, m; s, m των S, S, S και S. Για ποιές τιμές του λόγου α / β παρουσιάζεται εκφυλισμός ; 34

7 Υπ. Δώστε στη Hamiltonian τη μορφή ˆ α ˆ β Η= S ( ˆ ˆ + S S Ŝ ) όπου ˆ ˆ S = S ˆ + S. Παρατηρείστε στη συνέχεια ότι ˆ 3 Η s, s, s, m = αm+ βs( s+ ) s, s, s, m και εκφράστε τα s, s, s, m μέσω των s, m; s, m. Η ενέργεια των διαφόρων καταστάσεων είναι E = α + β, E = α + β, E = β, E =3β. Για α, β προφανώς δεν,,,, υπάρχει εκφυλισμός εκτός και αν α + β =3β ή α + β = 3β οπότε οι καταστάσεις,,, ή,,, αντίστοιχα είναι εκφυλισμένες. Για α, β = οι καταστάσεις, και, είναι εκφυλισμένες. Για α =, β οι καταστάσεις,,,,, είναι εκφυλισμένες. Αρα εκφυλισμός υπάρχει για α =± 4,,. β Άσκηση 3. Δύο μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια βρίσκονται δεσμευμένα σε κάποιο δυναμικό και έχουν καθορισμένη ενέργεια. Θεωρείστε ότι το πρόβλημα είναι μονοδιάστατο και γράψτε τη γενική μορφή που μπορεί να έχει η κυματοσυνάρτηση του συστήματος : (α) Εάν τα σωμάτια είναι διακρίσιμα. (β) Εάν είναι μη διακρίσιμα μποζόνια (γ) Εάν είναι μη διακρίσιμα φερμιόνια (δ) Επαναλάβετε τα ίδια εάν έχετε τρία σωμάτια. Απ. (α) ϕn ( ) ϕ n ( ) (β) ( ϕn ( ) ) ϕn ( ) + ϕn ( ) ϕn ( ) (γ) ( ϕn ( ) ) ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( ) (δ) Για φερμιόνια : ( ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3 3) ϕn ( ) ϕn ( 3) ϕn ( 3 ) ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3 3) + 3! + ϕn ( ) ϕn ( 3) ϕn ( 3 ) + ϕn ( 3) ϕn ( ) ϕn ( 3 ) ϕn ( 3) ϕn ( ) ϕn ( 3 ) = ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3) = ϕn ( ) ϕn ( ) ϕn ( 3). Το μυστικό της κατασκευής είναι ότι ξεκινάτε τον 3! ϕn ( 3 ) ϕn ( 3 ) ϕn ( 3 3) συνδυασμό (,, 3) και κάνετε όλες τις δυνατές μεταθέσεις βάζοντας ± ανάλογα με τον αν χρειάζεστε άρτιο ή περιττό αριθμό βημάτων για να επανέλθετε στον αρχικό σας συνδυασμό. ) 35

8 Άσκηση 3. (*) Για τα δύο σωμάτια της προηγούμενης άσκησης και για τις περιπτώσεις (α), (β) και (γ). υπολογίστε την ποσότητα ( ) = Απ.:(α) ( ) + nn nn nn nn = (β) ( ) ( ) nn bosons = + (γ) ( ) ( ) nn fermions Όπου γράψαμε f ( ) dϕn( ) f( ) ϕm( ) nm Άσκηση 33.(*) Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο στο δυναμικό V( ˆ) = mω ˆ + mω gˆ (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς.(θεωρώντας τις ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή γνωστές όπως επίσης και το ενεργειακό φάσμα). Στη συνέχεια εξετάστε δύο περιπτώσεις: Την περίπτωση g και την περίπτωση g. Βρείτε τη διόρθωση του ενεργειακού φάσματος σε προσέγγιση δεύτερης τάξης. (Υπ.: Γράψτε V( ˆ) = mω ˆ με ω = + g. Θα δείτε έτσι ότι En = ωn+ = ωn+ + g. Για την περίπτωση g χρησιμοποιείστε την + g + g g +... Στην δεύτερη περίπτωση γράψτε 8 + g = g + g ) g g 8g (β) Να επαναλάβετε τον υπολογισμό με τη βοήθεια της θεωρίας διαταραχών. (Υπ.: Στην πρώτη περίπτωση ο δεύτερος όρος στο δυναμικό είναι η μικρή διαταραχή ενώ στη δεύτερη ο πρώτος. Θα χρειαστεί να υπολογίσετε όρους του τύπου nˆ k. Χρησιμοποιείστε τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής και γράψτε ˆ = ( aˆ ˆ) + a. Έτσι θα βρείτε ότι mω nˆ k = ( ( k+ )( k+ ) δnk, + ( k+ ) δnk, + kk ( ) δ nk, ) mω Άσκηση 34.(*) Φορτισμένο σωμάτιο είναι δεσμευμένο σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή (σε μια διάσταση). Ταυτόχρονα τοποθετείται μέσα με ηλεκτρικό πεδίο έντασης E = Ee. (α) Να βρείτε το ενεργειακό φάσμα του σωματιδίου. 36

9 (β) Να κάνετε τον ίδιο υπολογισμό στο πλαίσιο της θεωρίας διαταραχών και να συγκρίνετε τα αποτελέσματα. pˆ = + ω ˆ ˆ Απ. Η Hamiltonian του σωματιδίου είναι : Hˆ m qe. Είναι γενικός m κανόνας ότι συναρτήσεις της μορφής f ( ) = a + b πάντα μπορούν να γραφούν f ( ) a( ) c = για κατάλληλες τιμές των a και c. Με απλή σύγκριση θα b διαπιστώσετε ότι = και c a qe q E V( ) = mω V ( ) c. mω mω b =. Επομένως το δυναμικό σας γράφεται: 4a Με την παρατήρηση αυτή η χροναανεξάρτητη εξίσωση Schroendinger παίρνει τη μορφή: d + V ( ) c ϕn( ) = Enϕn( ) md Αν τώρα γράψουμε = θα έχουμε: d + V ( ) ϕ ( ) ( ) n = Enϕn md όπου V ( ) = mω, ϕn( ) = ϕn( + ) και E n = En + c. Τη λύση στο πρόβλημα αυτό είναι γνωστή: ( ) ϕn( ) = AnΗn( )ep( ) ϕ ( ) ep, n = AnΗn β = β β β β β β mω Όπως είναι προφανές παριστάνει έναν ταλαντωτή το κέντρο ταλάντωσης του οποίου έχει μετατοπισθεί. Για την ενέργεια έχουμε: qe E n = En + c = ω( n+ ) En = ω( n ) + mω Αυτή την τελευταία σχέση θα επιβεβαιώσετε μέσω της θεωρίας διαταραχών. Θα διαπιστώσετε ότι η μόνη μηδενική διόρθωση είναι αυτή της δεύτερης τάξης. Άσκηση 35.(*) Σωμάτιο βρίσκεται δεσμευμένο στο δυναμικό σε δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή σε δύο διαστάσεις: V( ˆ, ˆ) = mω ˆ + mω ˆ (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς. Βρείτε τον εκφυλισμό κάθε ενεργειακού επιπέδου. (β) Στο δυναμικό προστίθεται η αλληλεπίδραση Hˆ = λvˆ = λmω ˆˆ όπου λ. Να βρείτε, σε πρώτη τάξη της θεωρίας διαταραχών, τη μεταβολή των τριών πρώτων ενεργειακών επιπέδων. 37

10 (γ) Να λύσετε ακριβώς το πλήρες πρόβλημα και να συγκρίνετε το αποτέλεσμά σας με την απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση. Απ. (α) Η πρώτη ερώτηση μπορεί να απαντηθεί πολύ εύκολα αν προσέξετε ότι το πρόβλημα σας είναι ισοδύναμο με δύο ανεξάρτητους μονοδιάστατους ταλαντωτές οι οποίοι έχουν την ίδια συχνότητα. Έτσι θα ορίσετε τους τελεστές mω pˆ ˆ mω p aˆ ˆ, ˆ ˆ = + i a = i mω mω mω pˆ ˆ mω p aˆ ˆ, ˆ ˆ = + i a = i mω mω και θα δουλέψετε για κάθε ταλαντωτή ξεχωριστά. Ονομάστε τις καταστάσεις του ενός n και του άλλου n. Προφανώς οι ιδιοκαταστάσεις του πλήρους συστήματος θα είναι οι n, n = n n. Η συνολική ενέργεια που θα βρείτε είναι ( ) E = E + E = ω n + n + nn n n αφού δεν υπάρχει αλληλεπίδραση. Η κατάσταση ελάχιστης ενέργειας είναι αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή n + n =. Προφανώς η μόνη δυνατότητα πραγματοποίησης αυτού του συνδυασμού είναι η n =, n = και έτσι υπάρχει μόνο μία βασική στάθμη :, =. Η επόμενη στάθμη είναι αυτή που αντιστοιχεί στην τιμή n + n = και αυτήν μπορεί να πραγματοποιηθεί με δύο διαφορετικούς τρόπους: n =, n = και n =, n =. Οι αντίστοιχες ιδιοκαταστάσεις είναι οι, = και, =. Προσέξτε ότι μεταχειριζόμαστε τους «δύο ταλαντωτές» ως διακρίσιμους: Ο ένας «πάλλεται» στην κατεύθυνση του άξονα και ο άλλος στη κατεύθυνση του άξονα. Στην πραγματικότητα, βέβαια, δεν πρόκειται για δύο αλλά για έναν ταλαντωτή ο οποίος έχει τη δυνατότητα να κινείται σε δύο ανεξάρτητες κατευθύνσεις. Έτσι η πρώτη διεγερμένη στάθμη παρουσιάζει εκφυλισμό τάξης. Η επόμενη στάθμη παρουσιάζει τριπλό εκφυλισμό αφού: n + n = n =, n =, n =, n =, n =, n =. ( ) ( ) ( ) Μπορείτε να βρείτε τον εκφυλισμό μιας τυχαίας κατάστασης αν δείτε ότι η εξίσωση n + n = N ( N : γνωστός ακέραιος ) έχει N + διαφορετικούς συνδυασμούς ακεραίων ως λύσεις. (β) Η βασική κατάστση δεν είναι εκφυλισμένη. Επομένως θα εφαρμόσετε τη θεωρία διαταραχών χωρίς πρόβλημα. Θα βρείτε () () () E = E ˆ ˆ ˆ + λ, V, + O( λ ) = E + λ mω + O( λ ) = E + O( λ ) αφού η μέση απομάκρυνση κάθε «ξεχωριστού ταλαντωτή» είναι μηδέν. Η δεύτερη στάθμη είναι διπλά εκφυλισμένη. Αυτό που πρέπει να γίνει είναι να πάτε στον υπόχωρο διάστασεων που φτιάχνουν οι ιδιοκαταστάσεις της ης στάθμης και να διαγωνοποιείσετε τη διαταραχή. Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα αν πρώτα 38

11 αναπαραστείσετε τον τελεστή V ˆ στη βάση {,,, }, Vˆ,, Vˆ, ˆ V ω =, Vˆ,, Vˆ, Οι ιδιοτιμές βρίσκονται αμέσως : E =± ω ± και τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα είναι τα + + = (, +, ) και = (,, ) Αυτά τα ανύσματα πρέπει να αποτελέσουν τη βάση για τον προσδιορισμό της διόρθωσης στην ενέργεια της εκφυλισμένης στάθμης: () () ω λ E + = E + λv++ + O( λ ) = E + λ + O( λ ) = ω + + O( λ ) () () ω λ E = E + λv + O( λ ) = E λ + O( λ ) = ω + O( λ ) Για τη δεύτερη διεγερμένη θα δουλέψετε με τον ίδιο τρόπο:, Vˆ,, Vˆ,, Vˆ, ˆ, ˆ,, ˆ,, ˆ ω V V V V, =, V ˆ,, V ˆ,, V ˆ, Οι ιδιοτιμές είναι E = ω, E =, E = ω + Τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα είναι τα Έτσι:,,, =,, και =, +, +, + = + +, ( ) ( ) () + = + λ ++ + ( λ ) = ω 3 + λ + ( λ ) E E V O O E E V O O () = + λ + ( λ ) = 3 ω+ ( λ ) ( ) () + = + λ + ( λ ) = ω 3 λ + ( λ ) E E V O O 39

12 (γ) Για να λύσετε πλήρως το πρόβλημα γράψτε ω λ ω 4 λ και ορίστε τις νέες μεταβλητές = ( + ) = οπότε το δυναμικό σας θα γίνει mω ( + λ) + mω ( λ) ( ) ( + + ) = ( + ) + ( ) + ( + ) ( ) m m και ( ) Αν τώρα παρατηρήσετε ότι, = + = η πλήρης Hamiltonian γράφεται ˆ ˆ pˆ p ˆ ˆ H = + + mω + mω m m είναι, δηλαδή, η Hamiltonian δύο ανεξάρτητων ταλαντωτών με διαφορετική συχνότητα: ω = +λ και ω = ω λ ω Το υπόλοιπο της ιστορίας είναι απλό. Άσκηση 36. Η Hamiltonian ενός συστήματος είναι ε a ˆ ˆ ˆ H = H + λv ε + λ b, ab, ε a b (α) Λύστε το πρόβλημα ακριβώς. (β) Βρείτε τη διόρθωση δεύτερης τάξης στο ενεργειακό φάσμα. Απ. (α) Το πλήρες πρόβλημα έχει τη μορφή 4

13 ε λa ε λb = E () λa λb ε Για να έχει λύση διάφορη του μηδενός το ομογενές σύστημα θα πρέπει ε E λa det ε E λb = ( EE)( E E)( EE3 ) = λa λb ε E όπου ( ) ( ) E = ε + ε ε ε + 4 λ ( a + b ), E = ε και ( ) ( ) E3 = ε + ε + ε ε + 4 λ ( a + b ) () Αν θεωρήσουμε ότι ε > ε και ότι θα βρούμε a + b 4 E = ε λ + O( λ ) ε ε a + b λ ( ε ε ) και E (3) 3 a + b 4 = + + O( λ ) (4) ε λ ε ε Έστω, και 3 τα ιδιοανύσματα της πλήρους Hamiltonian που αντιστοιχούν στις ιδιοενέργειες (). Για να τα βρούμε θα πάμε πίσω στο σύστημα (): ( ε ) λ ( ε ) λ λ λ ( ε ) E + a =, E + b =, a + b + E = (5) Εφαρμόζοντας την τελευταία για κάθε μια από τις ιδιοενέργειες και ζητώντας να ισχύει η + + = θα πάρουμε: λa λb N με N ( ) ( = ε E + λ a +b ), E ε b a a + b και 4

14 3 λa λb N με N ( ) ( 3 = ε E3 + λ a +b ) (6) 3 E 3ε Στην προσέγγιση (3) βρίσκουμε: a + b a λ ε ε a + b 3 b λ + O( λ ), a + b ε ε a + b λ ε ε a λ ε ε b λ + O λ (7) ε ε a b + λ ε ε 3 3 ( ) Λύσαμε, επομένως, πλήρως το πρόβλημα και είδαμε πώς συμπεριφέρεται η λύση μας ο όρος λ V ˆ θεωρηθεί «μικρός» (με την έννοια που υποδηλώνει η σχέση (3)). Μια παρατήρηση που θα μας χρειαστεί στη συνέχεια είναι αφορά στη συμπεριφορά των ιδιοανυσμάτων στο όριο λ : a b () () b, () a, 3 3 (8) a + b a + b ε (β) Όπως είναι προφανές το αδιατάρακτο σύστημα ˆ H ε παρουσιάζει ε εκφυλισμό αφού οι δύο πρώτες ιδιοκαταστάσεις του έχουν την ίδια ενέργεια. Τα () () () ιδιονύσματα της Ĥ μπορούν να είναι τα,, 3 μ μ () () () αλλά επίσης και τα ν, ν, 3 όπου οι συντελεστές μ, ν, μ, ν είναι τέτοιοι ώστε τα εν λόγω διανύσματα να φτιάχνουν ορθοκανονική βάση αλλά κατά τα άλλα είναι αυθαίρετοι. Όποιο σύνολο ανυσμάτων και εάν χρησιμοποιήσετε η αναπαράσταση της Ĥ είναι ακριβώς η ίδια. Για να μπορέσουμε να εφαρμόσουμε τη θεωρία διαταραχών θα πρέπει να άρουμε την εν λόγω αυθαιρεσία. Ο συνήθης τρόπος που εφαρμόζουμε είναι να διαλέξουμε τα 4

15 ιδιοανύσματα της αδιαταρακτης Hamiltonian έτσι ώστε να είναι και ιδιοανύσματα της διαταραχής. Στη συγκεκριμένη περίπτωση a ˆ V = b (9) a b και δεν μπορούμε να βρούμε με μοναδικό τρόπο τα ιδιοανύσματα της διαταραχής αφού και αυτά είναι εκφυλισμένα! () Μπορείτε, με πολύ απλό τρόπο, να διαπιστώσετε ότι τόσο το διάνυσμα όσο και το () είναι ιδιοανύσματα της Vˆ με ιδιοτιμή. H θεωρητική ανάλυση μας λέει ότι θα πρέπει τώρα να διαλέξουμε τα ιδιοανύσματα () () (),, 3 του αδιατάρακτου προβλήματος έτσι ώστε να είναι και ιδιοανύσματα του τελεστή: ˆ ˆ () () ˆ Δ= V 3 3 V () Το πρόβλημα αυτό μπορεί να λυθεί εύκολα στη βάση () () (),, 3 όπου a ab ˆ Δ ab b () Ο πίνακας αυτός έχει ιδιοανύσματα τα a () b, a + b () b a a + b και () 3 () Αυτή είναι η βάση στην οποία θα πρέπει να στηριχθεί η θεωρία διαταραχών. Είναι ακριβώς οι καταστάσεις που θα προκύψουν αν στο πλήρες πρόβλημα σβήσουμε τη διαταραχή! Από τη στιγμή που έχουμε επιλέξει την αρχική βάση μπορούμε να προχωρήσουμε χωρίς πρόβλημα : Τα βήματα της θεωρίας διαταραχών γίνονται όπως στη μη εκφυλισμένη περίπτωση. Το μόνο που χρειάζεται να βρείτε είναι η αναπαράσταση της διαταραχής στη βάση (). Ξεκινείστε με την παρατήρηση ότι σε μια τυχαία βάση ένας τελεστής γράφεται: 43

16 Επομένως στη βάση Εύκολα τώρα βρίσκουμε: ˆ ˆ V = n n V m m = n V n m n m nm m (3) () () (),, 3 έχουμε: Vˆ a 3 b 3 a 3 b 3 () () () () () () () () = (4) Vˆ = Vˆ =, Vˆ 3 = a + b () () () () () () () ˆ () () ˆ () () ˆ () V = V = V 3 = () ˆ () () ˆ () () () 3 V = a + b, 3 V = 3 V ˆ 3 = (5) Έτσι στη βάση () () (),, 3 η διαταραχή αναπαρίσταται από τον πίνακα: a + b Vˆ (6) a + b Εφαρμόζοντας τώρα απλώς τα αποτελέσματα της μη εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών θα πάρουμε: a + b 4 E = ε λ + O( λ ) ε ε E = ε,, E 3 a + b 4 = + + O( λ ) (7) ε λ ε ε a + b a λ ε ε a + b 3 b λ + O( λ ), a + b ε ε a + b λ ε ε b a και a + b 44

17 3 3 ( a b O a b λ ε ε ) λ λ ε ε λ ε ε + + (8) σε πλήρη συμφωνία με την ακριβή λύση. 45

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4. Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

= i να δείξετε τα εξής:

= i να δείξετε τα εξής: Άσκηση. Έστω ο τελεστής της θέσης ˆX και ο τελεστής της ορμής ˆP. Οι ιδιοτιμές του πρώτου ˆX = αντιστοιχούν στις δυνατές θέσεις ενός σωματίου ενώ οι ιδιοτιμές του δευτέρου ˆP p = p p στις δυνατές ορμές.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις

Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Θεωρία Διαταραχών ΙΙ: Εκφυλισμένες Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών: Γενική Μέθοδος για την αντιμετώπιση των απειρισμών λόγω εκφυλισμού Εφαρμογή σε διεγερμένη κατάσταση υδρογόνου

Διαβάστε περισσότερα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα

Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα Άσκηση. (Βοήθημα θεωρίας) Εάν ένα κλασικό άνυσμα r μετατοπισθεί κατά a, θα προκύψει το άνυσμα r = r + a. a Χρησιμοποιείστε την πληροφορία αυτή για να δείξετε ότι ο τελεστής που θα μεταφέρει το άνυσμα r

Διαβάστε περισσότερα

Σειρά Ασκήσεων (Τμήμα Καρανίκα Σφήκα)

Σειρά Ασκήσεων (Τμήμα Καρανίκα Σφήκα) Άσκηση. Σειρά Ασκήσεων (Τμήμα Καρανίκα Σφήκα) Έστω ο τελεστής της θέσης ˆX και ο τελεστής της ορμής ˆP. Οι ιδιοτιμές του πρώτου ˆX = αντιστοιχούν στις δυνατές θέσεις ενός σωματίου ενώ οι ιδιοτιμές του

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης.

Πανεπιστήµιο Αθηνών. προς το χρόνο και χρησιµοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυµατοσυνάρτησης. Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Φυσικής Κβαντοµηχανική Ι Α Καρανίκας και Π Σφήκας Άσκηση 1 Η Hamiltonian ενός συστήµατος έχει τη γενική µορφή Δείξτε ότι Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισµό της αναµενόµενης τιµής,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli

Άσκηση 1. Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 1 Δείξτε τις σχέσεις μετάθεσης των πινάκων Pauli Άσκηση 2 Βρείτε την δράση των τελεστών του spin S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις του S z +1/2>, =1/2> Η αναπαράσταση των S x, S y, S z, στις ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών

Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Χρονοανεξάρτητη Μη-Εκφυλισμένη Θεωρία Διαταραχών Δομή Διάλεξης Ανασκόπηση συμβολισμού Dirac Διαταραχές σε σύστημα δύο καταστάσεων Η γενική μέθοδος μη-εκφυλισμένης θεωρίας διαταραχών Εφαρμογή: Διαταραχή

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,

E = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α, Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Πολλών Σωματίων

Συστήματα Πολλών Σωματίων Συστήματα Πολλών Σωματίων Δομή Διάλεξης Βασικές γενικεύσεις: Κυματοσυνάρτηση-Ενέργεια συστήματος πολλών σωματίων Μη αλληλεπιδρώντα σωμάτια: Μέθοδος χωριζόμενων μεταβλητών Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σωματίων:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι

Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Λύσεις 9 ου Set Ασκήσεων Κβαντομηχανικής Ι Disclaimer: Οι δυο ασκήσεις ζητούν τις κυματοσυναρτήσεις, τις ενέργειες, τις τιμές (x 1 x 2 ) 2 των διαφόρων καταστάσεων και τη διόρθωση από διαταραχή, για μποζόνια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ), και τις ενεργειακές στάθμες του, 2. E E E, όπου ˆ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ II (ΑΠΕΙΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΟΥ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΗ/ΠΕΡΙΟΧΕΣ) Στο απειρόβαθο πηγάδι με τοιχώματα στα σημεία x, θα υπολογίσουμε τη διασπορά της ενέργειας,, για τη μικτή κατάσταση με 5 x x x 8 μέσα στο πηγάδι

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες.

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 30 Αυγούστου 2010 ( ιδάσκων: Α.Φ. Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 2,5 ώρες. ΘΕΜΑ [5575] ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Αυγούστου ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης,5 ώρες (α) Να αποδειχθεί ότι για οποιοδήποτε µη εξαρτώµενο από τον χρόνο τελεστή Α, ισχύει d A / dt = A,

Διαβάστε περισσότερα

fysikoblog.blogspot.com

fysikoblog.blogspot.com fysikobog.bogspot.co Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις ΙΙΙ: Σφαιρικές Αρμονικές Στις σημειώσεις αυτές δίνομε την αναπαράσταση των ιδιοανυσμάτων της

Διαβάστε περισσότερα

Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις

Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις Αρμονικός ταλαντωτής Ασκήσεις 4. Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ˆ i e, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του

Διαβάστε περισσότερα

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε.

ˆ pˆ. παραγωγίστε ως προς το χρόνο και χρησιμοποιείστε την εξίσωση Schrodinger για να βρείτε τη χρονική παράγωγο της κυματοσυνάρτησης. Θα βρείτε. Άσκηση. Η Hamiltoia ενός συστήματος έχει τη γενική μορφή ˆ pˆ H V ( xˆ ) m Δείξτε ότι d V ( xˆ ) pˆ F( xˆ) t dt x def. t Υπόδειξη: Ξεκινείστε από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής pˆ dx ( x, t) pˆ( x,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2018 8/3/2018 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2018 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 29/3/2018 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2017 8/3/2017 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 17/3/2017 Οι λύσεις των προβλημάτων 26 και 27 * να παραδοθούν μέχρι τις 24/3/2017 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Αρμονικός Ταλαντωτής

Αρμονικός Ταλαντωτής Αρμονικός Ταλαντωτής Δομή Διάλεξης Η χρησιμότητα του προβλήματος του αρμονικού ταλαντωτή Η Hamiltonian και οι τελεστές δημιουργίας και καταστροφής Το φάσμα ιδιοτιμών της Hamiltonian Οι ιδιοκαταστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι (Τµήµα Α. Λαχανά) 1 Φεβρουαρίου 2010 ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τµήµα Α Λαχανά) Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ : Θεωρήστε τις δύο περιπτώσεις όπου η κυµατική συνάρτηση ψx) που περιγράφει µονοδιάστατη κίνηση σωµατιδίου σε απειρόβαθο πηγάδι δυναµικού µε τα τοιχώµατα

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2019 14/3/2019 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 23,24 και 25 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2019 Οι λύσεις των προβλημάτων 27 και 28 * να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2019 1. Θεωρείστε

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n

H = H 0 + V (0) n + Ψ (1) n + E (2) (3) >... Σε πρώτη προσέγγιση µπορούµε να δεχτούµε ότι. n και E n E n 3 Θεωρία διαταραχών 3. ιαταραχή µη εκφυλισµένων καταστάσεων 3.. Τοποθέτηση του προβλήµατος Θέλουµε να λύσουµε µε τη ϑεωρία των διαταραχών το πρόβληµα των ιδιοτιµών και ιδιοσυναρτήσεων ενός συστή- µατος

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Κεφαλαίου 2

Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Άνοιξη 2013 5/3/2013 Προβλήματα Κεφαλαίου 2 Οι λύσεις των προβλημάτων 3, 4, 5 * να παραδοθούν μέχρι τις 22/3/2013 Οι λύσεις των προβλημάτων 8 * και 20 να παραδοθούν μέχρι τις 28/3/2013 1. Για να κερδίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου

Δομή Διάλεξης. Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger. Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους. Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Κεντρικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Εύρεση ακτινικού μέρους εξίσωσης Schrödinger Εφαρμογή σε σφαιρικό πηγάδι δυναμικού απείρου βάθους Εφαρμογή σε άτομο υδρογόνου Ακτινική Συνιστώσα Ορμής Έστω Χαμιλτονιανή

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0.

ii) Υπολογίστε τις μέσες τιμές της θέσης και της ορμής του ταλαντωτή όταν t 0. ΑΣΚΗΣΗ 4 Αρμονικός ταλαντωτής, τη χρονική στιγμή t, βρίσκεται στην κατάσταση ip ˆ x x, όπου η βασική κατάσταση του αρμονικού ταλαντωτή, ˆp x ο τελεστής της ορμής, και η κλίμακα μήκους του αρμονικού ταλαντωτή.

Διαβάστε περισσότερα

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp

x όπου Α και a θετικές σταθερές. cosh ax [Απ. Οι 1, 2, 5] Πρόβλημα 3. Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται στο πεδίο δυναμικής ενέργειας ( x) exp ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΦΥΣΙΚΗ (Υποχρεωτικό 4 ου Εξαμήνου) Διδάσκων : Δ. Σκαρλάτος Προβλήματα Σειρά # 5 : Η εξίσωση Schrödinger και η επίλυσή της σε απλά κβαντικά συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του

Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης του Τίτλος: Κυµατοσυνάρτηση-Φράγµα δυναµικού Χρόνος: min. Σωµάτιο προσπίπτει απο αριστερά στο παρακάτω φράγµα δυναµικού. Ποια απο τις παρακάτω είναι η σωστή µορφή του πραγµατικού µέρους της κυµατοσυνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Συστήματα Πολλών Σωματίων Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τελική Εξέταση: 3 Γενάρη ( ιδάσκων: ΑΦ Τερζής) ιάρκεια εξέτασης 3 ώρες ΘΕΜΑ [555555553] Θεωρούµε κβαντικό σύστηµα που περιγράφεται από την Χαµιλτονιανή H 3ε µ iε µε ιδιοσυναρτήσεις κάποιου

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 09. ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ ΤΑΥΤΟΣΗΜΑ ΣΩΜΑΤΙΔΙΑ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 φάση Η έννοια των ταυτόσημων σωματιδίων Ταυτόσημα αποκαλούνται όλα τα σωματίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση)

Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Σύστημα δύο αλληλεπιδρώντων σπιν μέσα σε ομογενές μαγνητικό πεδίο (άσκηση) Δύο σωμάτια με σπιν s και s αντίστοιχα και με τον ίδιο γυρομαγνητικό λόγο τοποθετούνται μέσα σε ομογενές χρονοανεξάρτητο μαγνητικό

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Κεντρικά Δυναμικά Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις :

Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή ) εξίσωση Helmholtz σε D χωρικές διαστάσεις : Η Εξίσωση Helmholtz Στο κεφάλαιο που ακολουθεί θα ασχοληθούμε με την ( μη ομογενή εξίσωση Helmholtz σε χωρικές διαστάσεις : ( + k Ψ ( r f( r ( k (6 Η εξίσωση αυτή συνοδεύεται (συνήθως από συνοριακές συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ

3/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΤΟ ΣΠΙΝ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΤΟ ΣΠΙΝ ΎΛΗ & ΦΩΣ 08. ΤΟ ΣΠΙΝ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Εισαγωγή Η ενδογενής στροφορμή ή αλλιώς σπιν αποτελεί ένα θεμελιώδες χαρακτηριστικό των σωματιδίων διότι

Διαβάστε περισσότερα

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

(φορτισμένος αρμονικός 2 ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ Για μια τυχαία ιδιοκατάσταση της ενέργειας,, υπολογίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών

Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Θεωρία Χρονοεξαρτώμενων Διαταραχών Δομή Διάλεξης Γενική μέθοδος μελέτης συστημάτων με χρονοεξαρτώμενο μέρος Χαμιλτονιανής. Εύρεση πιθανότητας μετάβασης Απλό παράδειγμα με ακριβή λύση: Σύστημα δύο καταστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite

Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite Ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Πολυώνυμα Hermite i) Δείξτε ότι δύο τυχαίες διαδοχικές ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή έχουν αντίθετη ομοτιμία. ii) Δείξτε ότι y n 0 ) ¹ 0, για n = 0,,...

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου,

Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (29/8/2001) (3), (4), όπου, (5),, (6), (9), όπου, Λύσεις των θεμάτων του Διαγωνίσματος Μηχανικης ΙΙ (9/8/1) Θέμα 1: (1), (), (3), (4), όπου, (5),, (6), (7), (8), (9), όπου, (1), (11) ενέργεια [ ], όλες οι συνιστώσες της στροφορμής [ ], (1), (13), (κυματ

Διαβάστε περισσότερα

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής

Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής Χρησιμοποιώντας την άλγεβρα της στροφορμής, θα υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του τετραγώνου της και της -συνιστώσας της. Μπορούμε, ωστόσο, να θέσουμε το πρόβλημα γενικότερα,

Διαβάστε περισσότερα

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού

( x) Half Oscillator. Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού Half Oscillator Σωμάτιο βρίσκεται υπό την επίδραση του δυναμικού ì, x ï V x í ïî mw x, x > Το σύστημα αυτό αναφέρεται ως «Half Oscillator». Στα Ελληνικά, θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «μισός αρμονικός ταλαντωτής»,

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά

Διάλεξη 2: Κεντρικά Δυναμικά. Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schrödinger για κεντρικά δυναμικά Διάλεξη : Κεντρικά Δυναμικά Αναζητούμε λύσεις της χρονοανεξάρτητης εξίσωσης Schöing για κεντρικά δυναμικά Μ. Μπενής. Διαλέξεις Μαθήματος Σύγχρονης Φυσικής ΙΙ. Ιωάννινα 03 Κεντρικά δυναμικά Εξάρτηση δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση

Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση το άτομο του υδρογόνου ΔΕΝ είναι προς εξέταση Στοιχεία Πυρηνικής Φυσικής και Στοιχειωδών Σωματιδίων (5ου εξαμήνου, χειμερινό 2017-18) Τμήμα T2: Κ. Κορδάς & Δ. Σαμψωνίδης Μάθημα 7 & 8 Κβαντικοί αριθμοί και ομοτιμία (parity) ουσιαστικά σημεία με βάση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005

Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 24 ης Ιουνιου 2005 ΑΤΜΟΦ Απαντησεις στις ερωτησεις της εξετασης της 4 ης Ιουνιου 005. Ερωτηση που αφορα στις ασκησεις του εργαστηριου. Α) Με βάση τη σχέση που συνδέει τις αποστάσεις α και b με την εστιακή απόσταση του σφαιρικού

Διαβάστε περισσότερα

και καταλήξτε στο ζητούμενο. Με τη βοήθεια της ανισότητας που αποδείξατε δείξτε ότι: ˆ ˆ 4 ˆ i i i i i i a i, και ο ανηγμένος τελεστής.

και καταλήξτε στο ζητούμενο. Με τη βοήθεια της ανισότητας που αποδείξατε δείξτε ότι: ˆ ˆ 4 ˆ i i i i i i a i, και ο ανηγμένος τελεστής. Άσκηση. α αποδείξετε την ανισότητα Schwartz: Υπόδειξη: Γράψτε όπου και Στη συνέχεια δείξτε ότι και καταλήξτε στο ζητούμενο. Με τη βοήθεια της ανισότητας που αποδείξατε δείξτε ότι: Άσκηση. Δείξτε ότι κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 20 Σεπτεμβρίου 2007 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Πτυχιακή εξέταση στη Μηχανική ΙI 0 Σεπτεμβρίου 007 Τμήμα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε στα ερωτήματα που ακολουθούν με σαφήνεια, ακρίβεια και απλότητα. Όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ

16/12/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 11. ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ ΚΒΑΝΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΑΣΕΙΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Χρονεξαρτημένη χαμιλτονιανή Στα προβλήματα τα οποία εξετάσαμε μέχρι τώρα η

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 )

Δομή Διάλεξης. Ορισμός Ολικής Στροφορμής. Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Πρόσθεση Στροφορμών Δομή Διάλεξης Ορισμός Ολικής Στροφορμής Σχέση βάσης ολικής στροφορμής (j,m j ) με βάση επιμέρους στροφορμών (m 1,m 2 ) Συντελεστές μετάβασης (Glebsch-Gordon) για σύνθεση από l=1, s=1/2

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής

Δομή Διάλεξης. Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης. Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Τροχιακή Στροφορμή Δομή Διάλεξης Οι τελεστές της τροχιακής στροφορμής στην αναπαράσταση της θέσης Τελεστές δημιουργίας και καταστροφής για ιδιοκαταστάσεις στροφορμής Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις της L

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά

Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Κίνηση σε Μονοδιάστατα Τετραγωνικά Δυναμικά Δομή Διάλεξης Τετραγωνικό Πηγάδι Δυναμικού: Δέσμιες καταστάσεις - ιδιοτιμές Οριακές Περιπτώσεις: δ δυναμικό, άπειρο βάθος Σκέδαση σε μια διάσταση: Σκαλοπάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Χρονοεξαρτώμενη Θεωρία Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Ατομική και Μοριακή Φυσική

Ατομική και Μοριακή Φυσική Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ατομική και Μοριακή Φυσική Σύστημα με δύο ηλεκτρόνια Λιαροκάπης Ευθύμιος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης

(ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Σπιν 1 μέσα σε χρονικά μεταβαλλόμενο (ταλαντούμενο) μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Επίλυση με αλλαγή βάσης Έστω ηλεκτρόνιο μέσα σε μαγνητικό πεδίο cos B B t, όπου B, και si cose si sie cos e είναι

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 25: Μαθηματική μελέτη του κβαντικού αρμονικού ταλαντωτή Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι να παρουσιάσει την μελέτη

Διαβάστε περισσότερα